ある．フーリエウルトラ超関数は，定義域が実軸からはみ出しているので一般に台というも のが定義できない．フーリエウルトラ超関数は，最近，“ハイゼンベルグの基本的長さ” を持 つ場の量子論の研究に応用されている． 1 とした時 任意の N に対して j x N より早く 0 となる。 (6.8) 解. ヘビサイドの階段関数 (Heaviside step function) は、ランプ関数の導関数として定義できます。 \[ H(x) = \frac{d}{dx} R(x) \] ここで、 ランプ関数 (Ramp function) は 1 変数の実数値関数で \(x\) を実数として次のように定義されます。 これの両辺をフーリエ変換すると, よって, 公式 を用いると, したがって, となる. 次の関数のフーリエ変換を求め、そののちフーリエ逆変換によりもとの関数に 戻ることを確かめよ。 (1) exp(a j x);a> 0 (2) exp(1 2 a 2 x) (3) d dx f (x); ただし は連続でかつ j j! このS上の連続線形汎関数を緩増加超関数といい，ざっくりと，「フーリエ変換が可能な関数の集合」 となります。 よって，η（t）e-εt が緩増加超関数であることを示すことで，先の「＝」は正しいことになり，公式の証明は完成します。 なぜなら、フーリエ変換はユニタリー変換であることを考えれば、フーリエ変換した関数を逆フーリエ変換した時には元に戻っていて欲しい、という条件が課されているからです。 そして、逆フーリエ変換時にはこれを避けて回らねばならりません。

単位ステップ関数のフーリエ変換は, 非常に難しい. 単位ステップ関数は次のように定義される. この関数の微分はデルタ関数で与えられる.

ヘヴィサイドの階段関数 （ ヘヴィサイドのかいだんかんすう 、 （ 英: Heaviside step function ）は、正負の引数に対しそれぞれ 1, 0 を返す階段関数 フーリエ変換は次の式で定義する. もし関数が導関数を持たないとき、微分係数は関数でも測度でもない。それは超関数と なる。 （4） ヘビサイド関数 ヘビサイド関数の連続導関数を求めると、その関数は不連続である。工学者はu(x)を以 下と定義している。 今回はこれを考察してみよう.

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